Definición de Mente Matemática: Esa parte
exacta, ordenada y precisa de la mente humana. Está presente en el nacimiento y
tiene la potencialidad de realizarse si se le proporciona un ambiente propicio.
De una manera característica llega a operaciones y a considerar su ambiente
desde un punto de vista el cual podemos llamar matemático. El hombre, por
naturaleza mide y también por naturaleza razona, y ese medir y razonamiento es
matemático. Las matemáticas son la base de todas las ciencias, y como Pitágoras
las definió:
“…es
el campo más fascinante de la actividad humana. Es una expresión particular
básica, característica de la mente humana”.
El
lenguaje y las matemáticas son creaciones de la mente humana y en algunas
ocasiones su origen ha sido atribuido a un factor súper-humano.
Las
matemáticas no existen por si solas. Son una expresión de la mente humana. La
expresión y precisión son hechas por el hombre. Quizá la mente humana sea la
mejor y más grande herramienta en el Universo. Propio de ella es el orden y la
capacidad de extenderse hasta el infinito.
El
universo está regido por leyes, y en el plano físico mucho de esto puede
reducirse a ecuaciones matemáticas.
Está
en la naturaleza, pero el uso que le da el hombre está más allá de la
naturaleza, sin embargo cabe perfectamente en el reino del hombre. El
universo en su totalidad se comporta de acuerdo a principios matemáticos. La
lógica y razonamiento de las matemáticas ayuda al hombre a que descubra su mundo
y a que manipule ideas que él pueda tener. Aún las actividades más básicas de
la vida cotidiana requieren de las matemáticas para dar forma a nuestro
comportamiento en el ambiente.
Las
matemáticas entonces, requieren algo del pensamiento más profundo del hombre,
pero aun así, él no puede pasar ni un solo día sin utilizar las matemáticas de
alguna manera, ya que su uso es constante en todo el mundo.
Desde
el inicio de la historia del hombre él ha contado, medido, calculado,
planificado y predicho. Las matemáticas crecieron con la civilización.
Surgieron de problemas prácticos y ayudaron a resolverlos. En los días cuando
el hombre obtenía sus alimentos por medio de la caza y de la recolección de
frutas silvestres y de semillas, tenía que contar para llevar un control de sus
provisiones.
Sin
embargo, un proceso tan sencillo como el conteo (aparentemente) pasó por muchas
etapas antes de alcanzar un nivel que permitiera la sistematización.
El
concepto de cantidad llegó de una manera natural al hombre. En los tiempos más
remotos, el único tipo de matemáticas que él conocía era el conteo con los
dedos. Durante miles de años cantidades mayores de tres, se consideraban como
un montón o una pila-
No
tenían calendarios ni mapas. Tuvieron que aprender estas cosas lentamente, por
medio de largas experiencias ya través del intento y el error. Sólo tenían el
sol, la luna y las estrellas para guiarlos. La salida del sol y su ocaso
cambiaba de estación en estación, y las estrellas en una noche ofrecían una guía
confiable para encontrar la dirección. Para medir períodos de tiempo más
largos, nuestros ancestros deben haberse guiado por la luna. El tiempo vuela, y
el conteo de los días o de os meses no era como el contar venados o dientes de
oso. Resolviendo el problema haciendo una incisión en un árbol, y marcando con
una tajada o una piedra cada día que pasaba –treinta días entre una luna llena
y la siguiente, doce de éstas conformando rudimentariamente un año – el primer
calendario lunar-.
El contar, medir y
calcular se volvieron más importantes cuando el hombre se convirtió en pastor o
en granjero. Ahora las personas tenían que medir la tierra y contar sus
rebaños.
El hombre
primitivo, no teniendo unidades de medida fijas, ni monedas, ni comercio más
allá del trueque más rudimentario, ningún sistema de pago de impuestos y
ninguna necesidad más allá del hombre primitivo, no tenían la necesidad de
numerales escritos, hasta más o menos el comienzo de lo que llamamos tiempos
históricos. Algo mucho más importante para estos cazadores que en un
conocimiento de matemáticas, era el conocimiento de estas estaciones y sentido
de orientación, para poder así pronosticar cuándo las nueces y las bayas
empezaban a madurar en algún bosque lejano y/o los medios para poder orientarse
y llegar hasta allá.
El hombre comenzó a
contar por intuición, hace mucho tiempo y en los inicios de su historia
aprendió a disfrutar las formas, los tamaños y la simetría. Se inventaron
símbolos numéricos, y se consideró a los números tan maravillosos que éstos
comenzaron a tener un significado misterioso.
Se ha considerado
por mucho tiempo a las matemáticas como: “La ciencia de magnitud discreta y continua”,
y en este sentido el origen de Matemáticas y Geometría ciertamente es
Pre-histórico. Tales artefactos como la tarja paleolítica con hendiduras y
patrones neolíticos en la cerámica, muestran que la idea de base numérica y
nociones de congruencia y similitudes surgieron mucho antes que el arte de la
escritura.
De las 4 grandes
civilizaciones antiguas, sólo Babilonia y Grecia contribuyeron al desarrollo de
las matemáticas. De las épocas remotas del pueblo de Babilonia (1700 a. C.) hay
tablas de multiplicar, tablas de recíprocos y tablas de cuadros y cubos.
Durante este periodo se introdujo el sistema sexagesimal, una escala que aún
perdura en mediciones modernas de tiempo y ángulos.
La medición de
áreas figuró de manera prominente en las matemáticas egipcias, como era de
suponerse en el periódicamente inundado valle del Nilo. Algunos creen que existe
evidencia de pruebas matemáticas en el Egipto antiguo. La construcción de las
pirámides parecía algo imposible sin el conocimiento de algunos principios
matemáticos. Muchas pruebas geométricas provienen de los matemáticos Griegos:
Herodoto, Pitágoras, Euclides y Arquímedes.
Entre los años 800
y 100 a. C. las matemáticas estuvieron influenciadas por la civilización
musulmana. La astrología y numerología del Este estaban combinadas con el
tratamiento Geométrico y Filosófico de la teoría matemática del Oeste.
La aritmética
estudia los números y la geometría estudia el espacio. Para predecir el cambio
de estaciones, estudiaron el movimiento del sol, la luna y las estrellas. Los
navegantes también observaban el cielo y buscaban a las estrellas que los
guiaban de lugar a lugar.
Para ayudarse en
este trabajo el hombre inventó la trigonometría –La cual relaciona las
distancias con las direcciones-.
Se expandió el
comercio por todo el mundo. El mismo tipo de cálculos debía repetirse. Para
ganar tiempo, algunas personas pensaron en reglas para hacerlo, y en formas de realizar
varias operaciones al mismo tiempo. Este fue el inicio del Álgebra.
Conforme fueron
pasando los siglos, el hombre construyó máquinas y talleres. Los científicos
estudiaron la tierra, el aire y el cielo. En estas actividades los hombres
trabajaban con cosas que se movían o cambiaban. Para pensar con certeza sobre
el movimiento y el cambio, inventaron el cálculo. Nuevos tipos de trabajo
trajeron nuevos problemas, y el hombre inventó nuevas ramas de la ciencia para
poder resolverlos.
Una comprensión de
las matemáticas es una ayuda para trabajar con nuestro propio ambiente. Ya sea
pre-histórico, ultra-moderno, rico, pobre, viejo o joven, las matemáticas son
parte de y una ayuda para el desarrollo. Es una parte del desarrollo natural
del hombre. El hombre prehistórico lo hizo intuitivamente; y así también lo
hace el niño. Conforme crece el hombre y la humanidad, también debe crecer su
conocimiento y comprensión de las matemáticas. Un verdadero conocimiento de
éste puede ayudar en el proceso de desarrollo del hombre.
Los hindús fueron
los primeros en utilizar 10 números en el sistema de valor relativo. Esto lo
tomaron los árabes y al Khowarizmi lo puso por escrito en el año 800 a. C.,
este sistema fue transmitido a Europa en el siglo XIII.
Durante los dos
últimos siglos ha habido inmensos avances en matemáticas, los cuales pueden
compararse en su novedad y extensión con aquellos de las ciencias físicas.
Los numerales más
antiguos de los cuales tenemos un récord definitivo, son simplemente líneas
rectas para los números pequeños y alguna forma especial para el diez. Las
líneas verticales I, II, III, etc. posiblemente sean representaciones de los
dedos levantados que se utilizaban para contar, y en computación, una señal
lingüística donde se encuentra la palabra “DIGITO”.
Las líneas horizontales _, =, =, etc., pueden
ser la representación de barras de computación, puestas sobre una mesa. Los
signos verticales fueron preferidos en Mesopotamia y las regiones
mediterráneas, y las líneas horizontales en el lejano Este, donde Ζ y si se escriben de manera cursiva serán el 2
y el 3 que conocemos actualmente.
Estos numerales
primitivos fueron utilizados de acuerdo a las necesidades de las gentes. La idea
de una figura de grupo seguro se le ocurrió a los mercaderes tan pronto se
desarrollaron los números mayores de 10 y 12 en Egipto y Babilonia. Una vez que
surgió la idea, probablemente influenciados por los diez dedos, se inventaron
símbolos para las unidades más pequeñas como en el caso de aquellas utilizadas
para el cuatro y el cinco. La idea de símbolos especiales para grupos mayores,
como 20, 30, etc., fue una extensión natural. Los griegos utilizaron, y aún lo
siguen haciendo, las letras de su alfabeto con un signo distintivo.
No hay lenguaje sin
términos para los numerales. La noción de unidad y pluralidad se expresa cuando
menos en la formación de “uno” y “dos”, aunque “dos es frecuentemente igual a
mucho”, así concluyendo una numeración que tan sólo ha comenzado.
Sólo el sistema
decimal parece haberse originado en el ciclo cultural de los grupos nómadas,
quienes al contar sus grandes rebaños de ovejas, manada de caballos, vacas y
camellos necesitaban utilizar números más grandes.
De los grupos nómadas,
este sistema se ha expandido por todas partes y se encuentra ahora en todas las
naciones. La invención de la numeración y la posición de los números en ésta se
considera una piedra milenaria en la historia intelectual de la humanidad. En
nuestro sistema decimal de numeración la base es 10, ya que la llave para todo
es el número 10.
Cuando se habla de
número, uno inmediatamente piensa en el estudio de la Aritmética. En su
significado original, la aritmética sí significaba la ciencia o teoría de los números,
pero ahora se considera generalmente como algo que concierne a la computación,
así que la aritmética es entonces el estudio matemático más elemental.
Las herramientas de
la aritmética son los números cardinales y ordinales. Uno, dos, tres, etc., son
números cardinales; Primero, Segundo, Tercero, etc., son números ordinales.
Matemáticas es una
ciencia basada en cantidades pensantes. En aritmética, las cantidades se
expresan en números y cada número puede escribirse utilizando diez símbolos.
Pero el número es una palabra amplia, ya que denota tanto un conjunto de
unidades abstractas como el símbolo que representa tal conjunto.
Generalmente es
aceptado que las razas primitivas y los niños pequeños no pueden concebir la
idea de una sucesión infinita de números naturales, pero sin embargo, son
capaces de asimilar la idea de una serie simple que termine, por ejemplo en 10,
con la cual ellos han adquirido un grado de familiaridad operativa.
Las matemáticas
como lenguaje representan una creación de la mente humana. Descubre y expresa
algo que existe en el ambiente. Para ser capaz de distinguir uno y más de uno,
se necesita la habilidad de abstraer. Aquí entonces podríamos encontrar el
origen de los problemas que las matemáticas pueden crear para el niño pequeño,
ya que la abstracción es un paso muy
grande que toma la mente humana, y que debemos permitir que el niño lo tome a
su tiempo. Si queremos anticipar este desarrollo en la mente del niño, sólo nos
engañaremos. Hacemos que el niño repita los nombres de los números y ya con
esto creemos que puede contar. Él sólo está repitiendo correctamente, tal y
como repite una canción. El aspecto cuantitativo es algo aparte.
Para que el niño
pueda comprender lo que es “cantidad” deberá alcanzar cierta madurez mental.
Esto debe hacerlo individualmente, cada niño. Nosotros no podemos hacer que lo
logre. Casi todos los idiomas tienen su propia rima para enseñar al niño los
nombres de cada número, pero esto no le da ninguna comprensión de “cantidad”
sin la cual el niño no podrá llevar a cabo las operaciones aritméticas.
Existen muchos
prejuicios acerca de cómo se deben enseñar al niño los números y que es
imposible el enseñarle. Es posible, pero no en la forma tradicional. Debemos
permitir que el niño alcance cierto nivel de desarrollo gradual. En determinado
momento, cuando al niño se le ha dado determinadas ayudas (ejercicios), viene
el despertar de la mente matemática. El paso de la sola exploración sensorial
en la base de impresiones, a una exploración la cual podemos denominar
medición. Él busca establecer relaciones exactas, no sólo en cantidad pero
también en el tamaño y forma, El comienza a preguntar ¿cuántos?, y desea una
respuesta precisa. Si no damos al niño los medios para encontrar la respuesta
precisa, él solamente podrá tener símbolos que no le aportarán una experiencia
completa.
El niño que llega a
este campo de actividad humana a su propio paso y tiempo y encuentra en ese
tiempo lo que le ayudó a entrar en él, lo hará con tanto entusiasmo y de manera
triunfal que mostrará qué tan falso es el mito que dice que la mente humana no
es matemática. De todas las actividades que ofrecemos al niño en casa de los
niños, ningunas son tan populares, tan capaces de inspirar entusiasmo,
intereses y concentración como las matemáticas.
El niño deberá
darse cuenta que cuando contamos determinados objetos tales como cuentas,
conchas, caracoles, no estamos hablando acerca de los objetos en sí, sino que
nos estamos refiriendo a algo acerca de ellos, su cantidad. Esta “cualidad”
abstracta tiene que “ser exteriorizada” y “vista” por la mente. Esta “cualidad”
debe ser vista como algo fuera/aparte de los objetos mismos.
Esto es sencillo
para el niño brillante, pero algunos sólo ven los objetos y se sienten confusos
con nombres nuevos y aparentemente irrelevantes. Podemos decir al niño, “tres
conejos”, pero cada uno de ellos es un conejo, así que ¿Cuál es el significado
de esta nueva palabra?
Si le damos los
medios adecuados el niño se fascinará con la posibilidad de establecer precisamente
cuántos, o qué tan pocos, qué tantos más, etc.
Los niños menores
de cuatro años pueden manejar cantidades menores de 10 sin ninguna dificultad.
Las dificultades psicológicas del conteo son, primero su significado, el cual
resolvió la Dra. Montessori con el material conocido como “material del sistema
decimal”.
Una vez que estas
dificultades de número hayan sido vencidas, abrimos para el niño el mundo de
los números para su exploración y el niño prosigue paso a paso con el mayor
entusiasmo, ya que el número es algo que viene al hombre de manera natural e
intuitiva. Hoy en día podemos ver la enorme importancia de la física matemática
acompañada por el desarrollo de computadoras altamente desarrolladas. Se vuelve
esencial en cada campo de la ciencia, para el químico, físico, astrónomo e
ingeniero. Entonces cada niño tiene el derecho a esta herencia de la humanidad,
aprendiéndola apropiadamente.
La preparación
indirecta para las matemáticas se ha dado con los ejercicios de vida práctica
por medio del:
·
Análisis lógico del movimiento
·
Presentaciones precisas y
ordenadas
·
Material en secuencias, en
presentaciones y progresiones
·
Control error
·
Trabajo ordenado
·
Control de error para la
verificación de la exactitud la cual lleva a la auto-perfección.
Con los materiales
sensoriales:
·
Claridad en la expresión-lenguaje
·
Percepciones precisas y exactas a
través de los ejercicios con figuras y formas.
·
Presentaciones precisas y uso
adecuado de los materiales
·
Materiales (hasta 10 en cantidad)
cuadrado, volumen, geometría.
Las cualidades y
características de los materiales de matemáticas tienen:
·
Exactitud: Necesitan ser exactos,
por medio de la verificación sólo una respuesta correcta para un problema, el
control de error y las presentaciones ordenadas.
·
Orden: Siguiendo un procedimiento
establecido, aumentando las dificultades conforme el niño va madurando sin
frustración.
·
Repetición: Necesario absorber
operaciones abstractas, a través de la práctica la cual lleva a la perfección.
Exploración y
orientación: Descubrir la interrelación entre números y operaciones. Se propone
una metodología precisa, el incorporar nueva información, expander habilidades
y el descubrimiento de limitaciones.
·
Abstracción: el material concreto
y las abstracciones materializadas proporcionan proceso para el desarrollo de
la abstracción y también proporcionan un proceso preciso para usar en las
operaciones.
·
Auto-perfección: matemáticas es
una herramienta que debe desarrollarse con la cual el individuo puede entonces,
llegar a un pensamiento lógico y ordenado lo cual permite logros posteriores.
Existen dos
conceptos básicos para este trabajo:
A.
Abstracciones materializadas, las
cuales comienzan con el material sensorial, la presentación concreta de los
conceptos y que cada paso en matemáticas gradualmente va descartando a las
“muletas materiales”.
B.
Aislamiento de la dificultad, solo
una dificultad se introduce a la vez. Cada dificultad previa se incluye en el
ejercicio siguiente. Cada paso debe ser comprendido en su totalidad antes de
que se presente una nueva dificultad. No se puede omitir ningún proceso sin
dejar una brecha en la comprensión.
Hay un
procedimiento de presentaciones las cuales siguen una progresión ordenada:
Números del 1 al 10: Esta área es para
presentar la cantidad, el símbolo y la secuencia de los números, introducirlos
y establecer las bases para el trabajo con el sistema decimal.
Barras numéricas.-
Introducción a la cantidad
Numerales de
lija.- Introducción al símbolo
Barras numéricas y
numerales.- Asociación de la cantidad y el símbolo. Secuencia numérica 1 – 10.
Caja de husos.-
Concepto de 0 como una entidad vacía. Secuencia numérica 1-9
Fichas y
numerales: comprensión del concepto pares y nones y de números con una cantidad
formada por unidades separadas y la divisibilidad de los números.
Juego de memoria
con números.- Prueba de la compresión del concepto.
Sistema decimal:
Esta área es para presentar el sistema decimal y las cuatro operaciones,
introducir números grandes, categorías y operaciones. Dar ejercicios colectivos
para una comprensión básica. Tener el juego de las estampillas y el juego de
los puntos para práctica individual y como una ayuda posterior para la
comprensión. El juego de los puntos es para la suma en columna y para el
“llevar”.
Paralelo al sistema
decimal está el área de las tablas de Seguin la cual es para presentar los
número del 1 – 99, la introducción de los números intermedios lo cual es un
prerrequisito para la memorización de las tablas y esto se logra por medio del
conteo lineal y de los ejercicios de conteo salteado.
El trabajo de
memorización, lleva a la exploración y memorización de las tablas de las cuatro
operaciones. Comienza con ejercicios concretos, sigue con la escritura en los
tableros, practica con las tablas de trabajo de operación y la prueba o
comprobación son las tablas ciegas de cada una. Sique con el pasaje a la
abstracción con las operaciones antes de eliminar materiales, y al final viene
la introducción a las fracciones y sus 4 operaciones introduciendo el hecho de
que es tan sencillo el trabajar con las partes de un número como el hacerlo con
el número completo.
Los primeros tres
años de la vida del niño están plenos de experiencias concretas las cuales
preparan indirectamente a la mente matemática dándose cuenta de las diferentes
propiedades de todo lo que le rodea. Cuando llega a la casa de los niños,
encuentra muchas experiencias más, las cuales lo preparan indirectamente. El
observa, experimenta y abstrae distinciones cada vez más finas de volumen,
forma, dimensiones, anchura, temperatura, clasifica y puede seguir un orden
secuencial y esto clasifica y ordena su mente y desarrolla sus conceptos
matemáticos.
El papel del
adulto, en esta área es muy importante. Primero deberá de eliminar experiencias
previas en matemáticas, las cuales pueden transmitirse a los niños. El es
responsable de las presentaciones en secuencia y el de estar alerta del
progreso y nivel de comprensión de cada niño. Deberá ser capaz por medio de su
práctica de comprender el material profundamente, y ser responsable de
proyectar al niño una buena imagen tanto en lenguaje y acciones como en
presentaciones.
“El
niño cuando nace, nace con potencialidad de una mente matemática que puede o no
desarrollarse según los estímulos que encuentra en los ambientes que se le
ofrezcan”.
De
0 a 3 años encontramos ejemplos en cada uno de sus movimientos, el horario
entre sus alimentos, sueño, cuando intenta alcanzar sus alimentos, juguetes,
cuando se mide con la mesa, etc.
El
niño es un ser inteligente y armónico y el orden es una necesidad para orientarse
en la vida y es la base de la eficiencia y como consecuencia de la independencia,
María Montessori dentro de su Filosofía de Vida, propone el manejo de las
matemáticas como un lenguaje necesario, natural y espontáneo, proporcionándonos
materiales como ella los llama “Abstracciones Materializadas” le permiten
observar, experimentar, analizar y hacer suyas las diferentes operaciones
matemáticas.
Relaciones:
menor que, mayor que, igual, diferente a, selección, clasificación, separación,
inclusión, seriación, pertenencia, reversibilidad, perspectiva,
proporcionalidad y lógica.
De
3 a 6 años esta mente matemática requiere de la información adecuada a través
de todos sus sentidos y en el ambiente Montessori de Casa de los Niños
encuentra todos los motivos de interés para esto.
Nosotros
vamos a tomar dos materiales que nos darán una visión muy amplia y que nos
muestran claramente la diferencia entre material didáctico (un momento de
interés) y de desarrollo (cada vez que lo experimentamos podemos deducir nuevos
conceptos).
Las
barras de colores: al principio el niño las clasifica por colores, después las
ordena, posteriormente hace secuencias, series ascendentes o descendentes,
encuentra relaciones, forma figuras, se inicia a operar.
De
6 a 12 años, el niño continua con esta experimentación y ahora en la formación
de conciencia encuentra las relaciones necesarias para operar, encontrar
propiedades y aplicarlas.
Como
observaremos ahora es capaz de hacer gráficas de diferentes fenómenos naturales
o sociales, ordenarlos según su importancia y clasificarlos.
Tiene
los esquemas de acción ya formados, por lo que simbólicamente puede
presentarlos y deducir principios de causalidad.
La
organización didáctica de todas las áreas de aprendizaje se interrelacionan
entre sí, adaptándose a las características e intereses de los niños y basados
fundamentalmente en su percepción sincrética.
En
la Educación Montessori a nivel Taller el trabajo se realiza generalmente en 4 etapas:
1. Observación
2. Experiencia
3. Análisis y comprensión
4. Abstracción
Y esto puedo
realizarlo por las características del material:
A. Es sensorial. Es visual (color, forma, dimensión). Es estereognóstico
(tridimensional).
B. Es creativo
C. Da una preparación indirecta
D. Son abstracciones materializadas
Nota: tomado de las clases con la Profesora Águeda
Vega
