Introducción a las matemáticas

Definición de Mente Matemática: Esa parte exacta, ordenada y precisa de la mente humana. Está presente en el nacimiento y tiene la potencialidad de realizarse si se le proporciona un ambiente propicio. De una manera característica llega a operaciones y a considerar su ambiente desde un punto de vista el cual podemos llamar matemático. El hombre, por naturaleza mide y también por naturaleza razona, y ese medir y razonamiento es matemático. Las matemáticas son la base de todas las ciencias, y como Pitágoras las definió:

         “…es el campo más fascinante de la actividad humana. Es una expresión particular básica, característica de la mente humana”.

         El lenguaje y las matemáticas son creaciones de la mente humana y en algunas ocasiones su origen ha sido atribuido a un factor súper-humano.

         Las matemáticas no existen por si solas. Son una expresión de la mente humana. La expresión y precisión son hechas por el hombre. Quizá la mente humana sea la mejor y más grande herramienta en el Universo. Propio de ella es el orden y la capacidad de extenderse hasta el infinito.

         El universo está regido por leyes, y en el plano físico mucho de esto puede reducirse a ecuaciones matemáticas.

         Está en la naturaleza, pero el uso que le da el hombre está más allá de la naturaleza, sin embargo cabe perfectamente en el reino del hombre. El universo en su totalidad se comporta de acuerdo a principios matemáticos. La lógica y razonamiento de las matemáticas ayuda al hombre a que descubra su mundo y a que manipule ideas que él pueda tener. Aún las actividades más básicas de la vida cotidiana requieren de las matemáticas para dar forma a nuestro comportamiento en el ambiente.

         Las matemáticas entonces, requieren algo del pensamiento más profundo del hombre, pero aun así, él no puede pasar ni un solo día sin utilizar las matemáticas de alguna manera, ya que su uso es constante en todo el mundo.

         Desde el inicio de la historia del hombre él ha contado, medido, calculado, planificado y predicho. Las matemáticas crecieron con la civilización. Surgieron de problemas prácticos y ayudaron a resolverlos. En los días cuando el hombre obtenía sus alimentos por medio de la caza y de la recolección de frutas silvestres y de semillas, tenía que contar para llevar un control de sus provisiones.

         Sin embargo, un proceso tan sencillo como el conteo (aparentemente) pasó por muchas etapas antes de alcanzar un nivel que permitiera la sistematización.

         El concepto de cantidad llegó de una manera natural al hombre. En los tiempos más remotos, el único tipo de matemáticas que él conocía era el conteo con los dedos. Durante miles de años cantidades mayores de tres, se consideraban como un montón o una pila-

         No tenían calendarios ni mapas. Tuvieron que aprender estas cosas lentamente, por medio de largas experiencias ya través del intento y el error. Sólo tenían el sol, la luna y las estrellas para guiarlos. La salida del sol y su ocaso cambiaba de estación en estación, y las estrellas en una noche ofrecían una guía confiable para encontrar la dirección. Para medir períodos de tiempo más largos, nuestros ancestros deben haberse guiado por la luna. El tiempo vuela, y el conteo de los días o de os meses no era como el contar venados o dientes de oso. Resolviendo el problema haciendo una incisión en un árbol, y marcando con una tajada o una piedra cada día que pasaba –treinta días entre una luna llena y la siguiente, doce de éstas conformando rudimentariamente un año – el primer calendario lunar-.

El contar, medir y calcular se volvieron más importantes cuando el hombre se convirtió en pastor o en granjero. Ahora las personas tenían que medir la tierra y contar sus rebaños.

El hombre primitivo, no teniendo unidades de medida fijas, ni monedas, ni comercio más allá del trueque más rudimentario, ningún sistema de pago de impuestos y ninguna necesidad más allá del hombre primitivo, no tenían la necesidad de numerales escritos, hasta más o menos el comienzo de lo que llamamos tiempos históricos. Algo mucho más importante para estos cazadores que en un conocimiento de matemáticas, era el conocimiento de estas estaciones y sentido de orientación, para poder así pronosticar cuándo las nueces y las bayas empezaban a madurar en algún bosque lejano y/o los medios para poder orientarse y llegar hasta allá.

El hombre comenzó a contar por intuición, hace mucho tiempo y en los inicios de su historia aprendió a disfrutar las formas, los tamaños y la simetría. Se inventaron símbolos numéricos, y se consideró a los números tan maravillosos que éstos comenzaron a tener un significado misterioso.

Se ha considerado por mucho tiempo a las matemáticas como: “La ciencia de magnitud discreta y continua”, y en este sentido el origen de Matemáticas y Geometría ciertamente es Pre-histórico. Tales artefactos como la tarja paleolítica con hendiduras y patrones neolíticos en la cerámica, muestran que la idea de base numérica y nociones de congruencia y similitudes surgieron mucho antes que el arte de la escritura.

De las 4 grandes civilizaciones antiguas, sólo Babilonia y Grecia contribuyeron al desarrollo de las matemáticas. De las épocas remotas del pueblo de Babilonia (1700 a. C.) hay tablas de multiplicar, tablas de recíprocos y tablas de cuadros y cubos. Durante este periodo se introdujo el sistema sexagesimal, una escala que aún perdura en mediciones modernas de tiempo y ángulos.

La medición de áreas figuró de manera prominente en las matemáticas egipcias, como era de suponerse en el periódicamente inundado valle del Nilo. Algunos creen que existe evidencia de pruebas matemáticas en el Egipto antiguo. La construcción de las pirámides parecía algo imposible sin el conocimiento de algunos principios matemáticos. Muchas pruebas geométricas provienen de los matemáticos Griegos: Herodoto, Pitágoras, Euclides y Arquímedes.

Entre los años 800 y 100 a. C. las matemáticas estuvieron influenciadas por la civilización musulmana. La astrología y numerología del Este estaban combinadas con el tratamiento Geométrico y Filosófico de la teoría matemática del Oeste.

La aritmética estudia los números y la geometría estudia el espacio. Para predecir el cambio de estaciones, estudiaron el movimiento del sol, la luna y las estrellas. Los navegantes también observaban el cielo y buscaban a las estrellas que los guiaban de lugar a lugar.

Para ayudarse en este trabajo el hombre inventó la trigonometría –La cual relaciona las distancias con las direcciones-.

Se expandió el comercio por todo el mundo. El mismo tipo de cálculos debía repetirse. Para ganar tiempo, algunas personas pensaron en reglas para hacerlo, y en formas de realizar varias operaciones al mismo tiempo. Este fue el inicio del Álgebra.

Conforme fueron pasando los siglos, el hombre construyó máquinas y talleres. Los científicos estudiaron la tierra, el aire y el cielo. En estas actividades los hombres trabajaban con cosas que se movían o cambiaban. Para pensar con certeza sobre el movimiento y el cambio, inventaron el cálculo. Nuevos tipos de trabajo trajeron nuevos problemas, y el hombre inventó nuevas ramas de la ciencia para poder resolverlos.

Una comprensión de las matemáticas es una ayuda para trabajar con nuestro propio ambiente. Ya sea pre-histórico, ultra-moderno, rico, pobre, viejo o joven, las matemáticas son parte de y una ayuda para el desarrollo. Es una parte del desarrollo natural del hombre. El hombre prehistórico lo hizo intuitivamente; y así también lo hace el niño. Conforme crece el hombre y la humanidad, también debe crecer su conocimiento y comprensión de las matemáticas. Un verdadero conocimiento de éste puede ayudar en el proceso de desarrollo del hombre.

Los hindús fueron los primeros en utilizar 10 números en el sistema de valor relativo. Esto lo tomaron los árabes y al Khowarizmi lo puso por escrito en el año 800 a. C., este sistema fue transmitido a Europa en el siglo XIII.

Durante los dos últimos siglos ha habido inmensos avances en matemáticas, los cuales pueden compararse en su novedad y extensión con aquellos de las ciencias físicas.

Los numerales más antiguos de los cuales tenemos un récord definitivo, son simplemente líneas rectas para los números pequeños y alguna forma especial para el diez. Las líneas verticales I, II, III, etc. posiblemente sean representaciones de los dedos levantados que se utilizaban para contar, y en computación, una señal lingüística donde se encuentra la palabra “DIGITO”.

Las líneas horizontales _, =, =, etc., pueden ser la representación de barras de computación, puestas sobre una mesa. Los signos verticales fueron preferidos en Mesopotamia y las regiones mediterráneas, y las líneas horizontales en el lejano Este, donde Ζ y     si se escriben de manera cursiva serán el 2 y el 3 que conocemos actualmente.

Estos numerales primitivos fueron utilizados de acuerdo a las necesidades de las gentes. La idea de una figura de grupo seguro se le ocurrió a los mercaderes tan pronto se desarrollaron los números mayores de 10 y 12 en Egipto y Babilonia. Una vez que surgió la idea, probablemente influenciados por los diez dedos, se inventaron símbolos para las unidades más pequeñas como en el caso de aquellas utilizadas para el cuatro y el cinco. La idea de símbolos especiales para grupos mayores, como 20, 30, etc., fue una extensión natural. Los griegos utilizaron, y aún lo siguen haciendo, las letras de su alfabeto con un signo distintivo.

No hay lenguaje sin términos para los numerales. La noción de unidad y pluralidad se expresa cuando menos en la formación de “uno” y “dos”, aunque “dos es frecuentemente igual a mucho”, así concluyendo una numeración que tan sólo ha comenzado.

Sólo el sistema decimal parece haberse originado en el ciclo cultural de los grupos nómadas, quienes al contar sus grandes rebaños de ovejas, manada de caballos, vacas y camellos necesitaban utilizar números más grandes.

De los grupos nómadas, este sistema se ha expandido por todas partes y se encuentra ahora en todas las naciones. La invención de la numeración y la posición de los números en ésta se considera una piedra milenaria en la historia intelectual de la humanidad. En nuestro sistema decimal de numeración la base es 10, ya que la llave para todo es el número 10.

Cuando se habla de número, uno inmediatamente piensa en el estudio de la Aritmética. En su significado original, la aritmética sí significaba la ciencia o teoría de los números, pero ahora se considera generalmente como algo que concierne a la computación, así que la aritmética es entonces el estudio matemático más elemental.

Las herramientas de la aritmética son los números cardinales y ordinales. Uno, dos, tres, etc., son números cardinales; Primero, Segundo, Tercero, etc.,  son números ordinales.

Matemáticas es una ciencia basada en cantidades pensantes. En aritmética, las cantidades se expresan en números y cada número puede escribirse utilizando diez símbolos. Pero el número es una palabra amplia, ya que denota tanto un conjunto de unidades abstractas como el símbolo que representa tal conjunto.

Generalmente es aceptado que las razas primitivas y los niños pequeños no pueden concebir la idea de una sucesión infinita de números naturales, pero sin embargo, son capaces de asimilar la idea de una serie simple que termine, por ejemplo en 10, con la cual ellos han adquirido un grado de familiaridad operativa.

Las matemáticas como lenguaje representan una creación de la mente humana. Descubre y expresa algo que existe en el ambiente. Para ser capaz de distinguir uno y más de uno, se necesita la habilidad de abstraer. Aquí entonces podríamos encontrar el origen de los problemas que las matemáticas pueden crear para el niño pequeño, ya que la  abstracción es un paso muy grande que toma la mente humana, y que debemos permitir que el niño lo tome a su tiempo. Si queremos anticipar este desarrollo en la mente del niño, sólo nos engañaremos. Hacemos que el niño repita los nombres de los números y ya con esto creemos que puede contar. Él sólo está repitiendo correctamente, tal y como repite una canción. El aspecto cuantitativo es algo aparte.

Para que el niño pueda comprender lo que es “cantidad” deberá alcanzar cierta madurez mental. Esto debe hacerlo individualmente, cada niño. Nosotros no podemos hacer que lo logre. Casi todos los idiomas tienen su propia rima para enseñar al niño los nombres de cada número, pero esto no le da ninguna comprensión de “cantidad” sin la cual el niño no podrá llevar a cabo las operaciones aritméticas.

Existen muchos prejuicios acerca de cómo se deben enseñar al niño los números y que es imposible el enseñarle. Es posible, pero no en la forma tradicional. Debemos permitir que el niño alcance cierto nivel de desarrollo gradual. En determinado momento, cuando al niño se le ha dado determinadas ayudas (ejercicios), viene el despertar de la mente matemática. El paso de la sola exploración sensorial en la base de impresiones, a una exploración la cual podemos denominar medición. Él busca establecer relaciones exactas, no sólo en cantidad pero también en el tamaño y forma, El comienza a preguntar ¿cuántos?, y desea una respuesta precisa. Si no damos al niño los medios para encontrar la respuesta precisa, él solamente podrá tener símbolos que no le aportarán una experiencia completa.

El niño que llega a este campo de actividad humana a su propio paso y tiempo y encuentra en ese tiempo lo que le ayudó a entrar en él, lo hará con tanto entusiasmo y de manera triunfal que mostrará qué tan falso es el mito que dice que la mente humana no es matemática. De todas las actividades que ofrecemos al niño en casa de los niños, ningunas son tan populares, tan capaces de inspirar entusiasmo, intereses y concentración como las matemáticas.

El niño deberá darse cuenta que cuando contamos determinados objetos tales como cuentas, conchas, caracoles, no estamos hablando acerca de los objetos en sí, sino que nos estamos refiriendo a algo acerca de ellos, su cantidad. Esta “cualidad” abstracta tiene que “ser exteriorizada” y “vista” por la mente. Esta “cualidad” debe ser vista como algo fuera/aparte de los objetos mismos.

Esto es sencillo para el niño brillante, pero algunos sólo ven los objetos y se sienten confusos con nombres nuevos y aparentemente irrelevantes. Podemos decir al niño, “tres conejos”, pero cada uno de ellos es un conejo, así que ¿Cuál es el significado de esta nueva palabra?

Si le damos los medios adecuados el niño se fascinará con la posibilidad de establecer precisamente cuántos, o qué tan pocos, qué tantos más, etc.

Los niños menores de cuatro años pueden manejar cantidades menores de 10 sin ninguna dificultad. Las dificultades psicológicas del conteo son, primero su significado, el cual resolvió la Dra. Montessori con el material conocido como “material del sistema decimal”.

Una vez que estas dificultades de número hayan sido vencidas, abrimos para el niño el mundo de los números para su exploración y el niño prosigue paso a paso con el mayor entusiasmo, ya que el número es algo que viene al hombre de manera natural e intuitiva. Hoy en día podemos ver la enorme importancia de la física matemática acompañada por el desarrollo de computadoras altamente desarrolladas. Se vuelve esencial en cada campo de la ciencia, para el químico, físico, astrónomo e ingeniero. Entonces cada niño tiene el derecho a esta herencia de la humanidad, aprendiéndola apropiadamente.

La preparación indirecta para las matemáticas se ha dado con los ejercicios de vida práctica por medio del:

·         Análisis lógico del movimiento

·         Presentaciones precisas y ordenadas

·         Material en secuencias, en presentaciones y progresiones

·         Control error

·         Trabajo ordenado

·         Control de error para la verificación de la exactitud la cual lleva a la auto-perfección.

Con los materiales sensoriales:

·         Claridad en la expresión-lenguaje

·         Percepciones precisas y exactas a través de los ejercicios con figuras y formas.

·         Presentaciones precisas y uso adecuado de los materiales

·         Materiales (hasta 10 en cantidad) cuadrado, volumen, geometría.

Las cualidades y características de los materiales de matemáticas tienen:

·         Exactitud: Necesitan ser exactos, por medio de la verificación sólo una respuesta correcta para un problema, el control de error y las presentaciones ordenadas.

·         Orden: Siguiendo un procedimiento establecido, aumentando las dificultades conforme el niño va madurando sin frustración.

·         Repetición: Necesario absorber operaciones abstractas, a través de la práctica la cual lleva a la perfección.

Exploración y orientación: Descubrir la interrelación entre números y operaciones. Se propone una metodología precisa, el incorporar nueva información, expander habilidades y el descubrimiento de limitaciones.

·         Abstracción: el material concreto y las abstracciones materializadas proporcionan proceso para el desarrollo de la abstracción y también proporcionan un proceso preciso para usar en las operaciones.

·         Auto-perfección: matemáticas es una herramienta que debe desarrollarse con la cual el individuo puede entonces, llegar a un pensamiento lógico y ordenado lo cual permite logros posteriores.

Existen dos conceptos básicos para este trabajo:

A.           Abstracciones materializadas, las cuales comienzan con el material sensorial, la presentación concreta de los conceptos y que cada paso en matemáticas gradualmente va descartando a las “muletas materiales”.

B.           Aislamiento de la dificultad, solo una dificultad se introduce a la vez. Cada dificultad previa se incluye en el ejercicio siguiente. Cada paso debe ser comprendido en su totalidad antes de que se presente una nueva dificultad. No se puede omitir ningún proceso sin dejar una brecha en la comprensión.

Hay un procedimiento de presentaciones las cuales siguen una progresión ordenada:

         Números del 1 al 10: Esta área es para presentar la cantidad, el símbolo y la secuencia de los números, introducirlos y establecer las bases para el trabajo con el sistema decimal.

Barras numéricas.- Introducción a la cantidad

Numerales de lija.- Introducción al símbolo

Barras numéricas y numerales.- Asociación de la cantidad y el símbolo. Secuencia numérica 1 – 10.

Caja de husos.- Concepto de 0 como una entidad vacía. Secuencia numérica 1-9

Fichas y numerales: comprensión del concepto pares y nones y de números con una cantidad formada por unidades separadas y la divisibilidad de los números.

Juego de memoria con números.- Prueba de la compresión del concepto.

Sistema decimal: Esta área es para presentar el sistema decimal y las cuatro operaciones, introducir números grandes, categorías y operaciones. Dar ejercicios colectivos para una comprensión básica. Tener el juego de las estampillas y el juego de los puntos para práctica individual y como una ayuda posterior para la comprensión. El juego de los puntos es para la suma en columna y para el “llevar”.

Paralelo al sistema decimal está el área de las tablas de Seguin la cual es para presentar los número del 1 – 99, la introducción de los números intermedios lo cual es un prerrequisito para la memorización de las tablas y esto se logra por medio del conteo lineal y de los ejercicios de conteo salteado.

El trabajo de memorización, lleva a la exploración y memorización de las tablas de las cuatro operaciones. Comienza con ejercicios concretos, sigue con la escritura en los tableros, practica con las tablas de trabajo de operación y la prueba o comprobación son las tablas ciegas de cada una. Sique con el pasaje a la abstracción con las operaciones antes de eliminar materiales, y al final viene la introducción a las fracciones y sus 4 operaciones introduciendo el hecho de que es tan sencillo el trabajar con las partes de un número como el hacerlo con el número completo.

Los primeros tres años de la vida del niño están plenos de experiencias concretas las cuales preparan indirectamente a la mente matemática dándose cuenta de las diferentes propiedades de todo lo que le rodea. Cuando llega a la casa de los niños, encuentra muchas experiencias más, las cuales lo preparan indirectamente. El observa, experimenta y abstrae distinciones cada vez más finas de volumen, forma, dimensiones, anchura, temperatura, clasifica y puede seguir un orden secuencial y esto clasifica y ordena su mente y desarrolla sus conceptos matemáticos.

El papel del adulto, en esta área es muy importante. Primero deberá de eliminar experiencias previas en matemáticas, las cuales pueden transmitirse a los niños. El es responsable de las presentaciones en secuencia y el de estar alerta del progreso y nivel de comprensión de cada niño. Deberá ser capaz por medio de su práctica de comprender el material profundamente, y ser responsable de proyectar al niño una buena imagen tanto en lenguaje y acciones como en presentaciones.

         “El niño cuando nace, nace con potencialidad de una mente matemática que puede o no desarrollarse según los estímulos que encuentra en los ambientes que se le ofrezcan”.

         De 0 a 3 años encontramos ejemplos en cada uno de sus movimientos, el horario entre sus alimentos, sueño, cuando intenta alcanzar sus alimentos, juguetes, cuando se mide con la mesa, etc.

         El niño es un ser inteligente y armónico y el orden es una necesidad para orientarse en la vida y es la base de la eficiencia y como consecuencia de la independencia, María Montessori dentro de su Filosofía de Vida, propone el manejo de las matemáticas como un lenguaje necesario, natural y espontáneo, proporcionándonos materiales como ella los llama “Abstracciones Materializadas” le permiten observar, experimentar, analizar y hacer suyas las diferentes operaciones matemáticas.

         Relaciones: menor que, mayor que, igual, diferente a, selección, clasificación, separación, inclusión, seriación, pertenencia, reversibilidad, perspectiva, proporcionalidad y lógica.

         De 3 a 6 años esta mente matemática requiere de la información adecuada a través de todos sus sentidos y en el ambiente Montessori de Casa de los Niños encuentra todos los motivos de interés para esto.

         Nosotros vamos a tomar dos materiales que nos darán una visión muy amplia y que nos muestran claramente la diferencia entre material didáctico (un momento de interés) y de desarrollo (cada vez que lo experimentamos podemos deducir nuevos conceptos).

         Las barras de colores: al principio el niño las clasifica por colores, después las ordena, posteriormente hace secuencias, series ascendentes o descendentes, encuentra relaciones, forma figuras, se inicia a operar.

         De 6 a 12 años, el niño continua con esta experimentación y ahora en la formación de conciencia encuentra las relaciones necesarias para operar, encontrar propiedades y aplicarlas.

         Como observaremos ahora es capaz de hacer gráficas de diferentes fenómenos naturales o sociales, ordenarlos según su importancia y clasificarlos.

         Tiene los esquemas de acción ya formados, por lo que simbólicamente puede presentarlos y deducir principios de causalidad.

         La organización didáctica de todas las áreas de aprendizaje se interrelacionan entre sí, adaptándose a las características e intereses de los niños y basados fundamentalmente en su percepción sincrética.

         En la Educación Montessori a nivel Taller el trabajo se realiza generalmente en 4 etapas:

1.     Observación

2.    Experiencia

3.    Análisis y comprensión

4.    Abstracción

Y esto puedo realizarlo por las características del material:

A.   Es sensorial. Es visual (color, forma, dimensión). Es estereognóstico (tridimensional).

B.    Es creativo

C.    Da una preparación indirecta

D.   Son abstracciones materializadas

 Nota: tomado de las clases con la Profesora Águeda Vega